May 17th, 2005

profile

циркуль, Гёдель и линейка

По следам позавчерашнего разговора о том, что можно успеть рассказать за полтора часа про теоремы Гёделя, и недавних дискуссий у sowa про ограниченные возможности аксиоматических теорий.

Пока я готовился к своему рассказу, мне пришла в голову удачная, кажется, аналогия. Кроме теоремы Гёделя, существует ещё ряд всем известных утверждений о невозможности какого-то результата. А именно: квадратуру круга и трисекцию угла невозможно выполнить с помощью циркуля и линейки. То, что этого сделать нельзя, рассказывают ещё в школе на уроках геометрии — поначалу это выводит из себя, но потом привыкаешь (доказательства этих фактов, замечу, нетривиальны). «Философский» вывод можно сделать только один: циркуль и линейка — несовершенные инструменты с ограниченными возможностями. Нет ничего проще трисекции угла, если вооружиться транспортиром, изготовить специальный вспомогательный прибор или, допустим, разрешить сгибать лист бумаги.

Теорема Гёделя (вместе с сопутствующими рассуждениями) предъявляет истинное утверждение, которое в рамках данной формальной системы доказать невозможно. Что ж, это означает только, что формальная система — это тоже несовершенный инструмент с ограниченными возможностями, вроде циркуля. Мне кажется, что вот и вся суть «аргумента Пенроуза». Другое дело, что в этом случае другого инструмента у нас (пока?) по сути дела нет.